Risolvere un triangolo significa determinare tutti suoi elementi , cioè i suoi lati ed i suoi angoli, a partire dagli elementi noti. Ovviamaìente per quanto riguarda gli angoli sarà sufficiente conoscere le funzioni goniometriche associate affinchè l'angolo sia univocamente determinato.
In questa sezione si vedrà come si risolvono i triangoli rettangoli analizzando i vari casi possibili.
Di seguito , quindi, si vedrà come operare nei seguenti casi:
si conosce l'ipotenusa ed un angolo acuto;
si conosce un cateto ed un angolo acuto oppure il valore di una funzione goniometrica dell'angolo;
si conosce l'ipotenusa ed un cateto;
si conoscono i due cateti.
Si farà riferimento alla seguente figura:
Sono noti l'ipotenusa ed un angolo acuto.
Si risolva il triangolo rettangolo del quale si conosce l'ipotenusa e dell'angolo acuto si sa che
.
.
Grazie all'identità fondamentale si può calcolare il seno dell'angolo :
;
Applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli si possono subito calcolare i cateti:
e
.
Infine ricordando che in un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari:
e .
Sono noti un cateto ed un angolo acuto.
Si risolva il triangolo rettangolo sapendo la misura di un cateto, , e conoscendo il coseno dell'angolo ad esso adiecente, precisamente si sa che
.
In questo caso si può subito determinare l'ipotenusa:
Quindi con il teorema di Pitagora si può calcolare l'altro cateto:
.
Infine per l'angolo , essendo acuto, basta determinare una qualsiasi delle sue funzioni goniometriche:
.
Sono noti l'ipotenusa ed un cateto.
Si risolva il triangolo rettangolo conoscendo la misura dell'ipotenusa e di un cateto, ad esempio .
Con il teorema di Pitagora si determina il cateto incognito:
;
Per determinare gli angoli acuti è sufficiente calcolre le loro funzioni goniometriche, anzi, conoscendo i due cateti conviene focalizzare l'attenzione sul valore della tangente, ricordando che il valore della tangente di un angolo acuto è pari al rapporto tra il cateto che si oppone all'angolo e quello adiacente all'angolo stesso:
Si tratta della tangente di un arco noto: , e quindi . Se non avessimo ottenuto il valore di un arco noto, si sarebbe potuto utilizzare una calcolatrice scientifica per determinare l'angolo. In ogni caso a volte il problema non richiede di calcolare esplicitamente l'angolo, ma solo di individuare il valore delle relative funzioni goniometriche.
Sono noti i due ceteti.
Si risolva un triangolo rettangolo del quale sono note le misure e dei due cateti.
Per calcolare la lunghezza dell'ipotenusa basta applicare il teorema di Pitagora:
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per risolvere il triangolo bisogna, però calcolare anche gli angoli. Con il teorema relativo alla tangente dell'angolo acuto si ha:
,
infine l'ultimo angolo si calcola semplicemente per differenza: