Integrazione per parti

Ricordando il teorema di derivazione del prodotto di funzioni:

si può ricavare:

da cui, integrando entrambi i membri dell'uguaglianza e ricordando la definizione di integrale indefinito e le proprietà di linearità, si ottiene la cosiddetta formula dell'integrazione per parti:

Strana formula questa formula: ad un primo sguardo sembra assolutamente inutile perchè non dice come risolvere un integrale ma solo come poter "spostare" il problema da un integrale ad un altro. La sua eventuale utilità si ha se il secondo integrale è più semplice di quello di partenza.

Il fattore f'(x), cioè la funzione che si riconosce come derivata di qualcun'altra (la f(x)), è chiamata fattore differenziale, mentre l'altra, la g(x), fattore finito.

L'applicazione di questa formula può avvenire in quattro "modi" diversi:

1) "normale": al primo tentativo si ottiene un integrale immediatamente risolvibile. Esempio:
in questo caso è stato scelto come fattore differenziale f'(x) = ex , quindi f(x) = ex , e come fattore finito g(x) = x , quindi g'(x)=1
2) "reiterara" : al primo tentativo non si ottiene un integrale immediatamente risolvibile ma palesemente più semplice (ad esempio perchè si abbassa il grado degli eventuali polinomi presenti): in questo caso basterà applicare nuovamente la medesima formula fino ad ottenere un integrale risolvibile. Esempio:

3) "con fattore differenziale 1": come fattore differenziale si sceglie f'(x) = 1 , quindi f(x) = x , e come fattore finito la funzione integranda.

Esempio:

in questo caso è stato scelto come fattore differenziale f'(x) = ex , quindi f(x) = ex , e come fattore finito g(x) = x , quindi g'(x)=1
4) "in modo ricorsivo": applicando normalmente la formula si riottiene, magari anche dopo svariate applicazioni, il medesimo integrale di partenza. In questo caso, superato il primo momento di sconforto, ci si accorge che esaminando solo il primo membro e l'ultimo e assumendo l'integrale stesso come incognita, si può giungere al risultato auspicato. Esempio:
Se indichiamo con

abbiamo ottenuto:
da cui